FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Y LOGARITMO(I.T.M)This is a featured page

DOCUMENTO DE LOGARITMOS
teoria de logaritmos.doc

Por definición :

Log a C = b únicamente si a^b= C ; (Se lee " logaritmo en base a de C ")




El "producto de potencias de igual base" es una propiedad que nos indica que podemos sumar las potencias cuando operamos con multiplicaciones de este tipo. Como trabajamos con potencias al aplicar logaritmos, traslademos esta propiedad al tema que estamos tratando.

Si tenemos una multiplicación y aplicamos logaritmos se transformará en este se trasformará en suma. En cuanto a la división, como las potencias se restan, al aplicar logaritmos se transforman en resta.



Ej. x = a . b ® log x = log a + log b
x = a : b ® log x = log a – log b
Resolver :(a2 )3 = a2 . a2 . a2 = a2 + 2 + 2 = a 2 . 3 = a 6


Resumiendo:(a2 )3 = a2 . 3 = a6

En "potencia de potencia", las potencias se multiplican. Por eso, cuando aplicas logaritmo a un número elevado a una potencia, el exponente pasa multiplicando al logaritmo de la base. En cuanto a la raíz, que es una potencia fraccionaria, la fracción baja para multiplicar al logaritmo. La fracción es una división entre enteros, así que el denominador, en realidad, está dividiendo.

Ej.: x = a b ® log x = b . log a

FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Y LOGARITMO(I.T.M) - HERNAN QUIROZ:LECTURAS


Cambio de base:
El concepto de cambio de base deriva de la definición de logaritmo. Pongamos un ejemplo para entender mejor el procedimiento. x = log2 32 (por definición de logaritmo) 2^x = 32 (aplicamos logaritmo, recuerden que sucede con la potencia) x . log 2 = log 32 (despejamos x)

x = FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Y LOGARITMO(I.T.M) - HERNAN QUIROZ:LECTURAS

Hemos cambiado la base del logaritmo que aplicamos a la operación trasformándola en una división del logaritmo de la base y el logaritmo del número. En este caso, al principio estaba en base dos y la cambiamos a base diez. Generalizando: FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Y LOGARITMO(I.T.M) - HERNAN QUIROZ:LECTURAS


Logaritmo Neperiano o Natural.

Los logaritmos son operaciones matemáticas ampliamente usadas, es por eso que los hallamos en las calculadoras científicas. Entre todos los números que se pueden emplear como base encontramos dos que son los más difundidos:
a) Log (que ya lo hemos visto)
b) La otra base es un valor constante denominado e (2,718281828) cuyo logaritmo, para diferenciarlo del anterior, se denomina logaritmo natural o neperiano. Se escribe ln. Por supuesto que para calcularlo también podemos utilizar la calculadora, basta con teclear el número y luego la tecla ln. Logaritmos de base diez: Cuando escribimos la palabra "log" y no aclaramos de que base se trata, se toma ( por convención o acuerdo ) que la base es diez. En tu calculadora vas a encontrar una tecla que dice ln. Esta tecla halla automáticamente el logaritmo de base e. Log 2 = ...... ( En la mayoría de las calculadoras basta con poner el 2 y después apretar la tecla ln ) El resultado es la potencia a la que tienes que elevar a e para que te de 2. e ..... = 2 Si tenemos el valor del logaritmo neperiano y queremos saber el valor del número al que le hemos efectuado esta operación también utilizamos la calculadora: ln ........ = 0,301029996 Para ello teclea este número en tu calculadora, aprieta Shift o 2ndf, según la calculadora que tengas ( suele aparecer con otro color ), después la tecla ln. Por supuesto no vamos a obtener los mismos resultados ya que la base cambió pero el manejo de la calculadora es el mismo. Antiguamente los logaritmos eran utilizados para resolver cuentas extremadamente grandes, con el advenimiento de la calculadora hoy se los utiliza para resolver ecuaciones solamente. Pero eso no quiere decir que se los utilice menos sino que se han agilizado los cálculos y ustedes no tienen que perder tiempo resolviendo cuentas.

Función Exponencial: Aquí x es la potencia. " f(x)= a^x "

1) Hallar el logaritmo de:

a) log2 4 =
b) log3 27 =
c) log2 16 =
d) log5 125 =
e) log3 243 =
f) log2 0,5 =
g) log2 0,25 =
h) log2 0,125 =
i) log6 216 =
j) log 100000 =


Rta.: a) 2, b) 3, c) 4, d) 3 e) 5, f) – 1, g) – 2, h) – 3, i) 3, j) 5



2) Resolver aplicando las propiedades de logaritmos.


a) log (5 . 3) =
b) log (23 . 3) =
c) log (7 : 3) =
d) log (2 . 3 : 4)5 =
e) FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Y LOGARITMO(I.T.M) - HERNAN QUIROZ:LECTURAS

Rta.: a) log 5 + log 3, b) 3. log 2 + log 3, c) log 7 – log 3, d) 5. (log 2 + log 3 – log 4), e) ½ (log 3 + log 5) – log 2.




3) Cambio de base:



a) log2 5 =
c) log3 7 =
b) log32 =
d) log5 24 =



Rta.: a) log 5 / log 2, b) log 2 / log 3, c) log 7 / log 3, d) log 24 / log 5.



4) Ecuaciones:

FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Y LOGARITMO(I.T.M) - HERNAN QUIROZ:LECTURAS


Rta.: a) 2; b) – 4 y 4; c) 2; d) 2,3 y – 1,3; e) 2.
a)Sabiendo que \log x = 0,2345 y que \log y = 0,3456, calcula \log \frac{x \cdot y^3}{\sqrt{y^3}}
b)Calcula el valor de a en las siguientes expresiones:

- a) \log_a {8} = 3
- b) \log_2{a}=5

c)Calcula los siguientes logarítmos:

a) \log_{3} {\frac{1}{27}}
b) \log_3 {\frac{\sqrt{3}}{9}}

d)Sin calculadora, usando las propiedades de los logarítmos y sabiendo que

\log{2} = 0,3010 y \log{3} = 0,4774,

calcula: - a) \log 6
- b) \log 144
- a) \log {{8} \over {81}}

SOLUCION: \log{2} = 0.3010
\log{3} = 0.4774
\log{6} = \log{(2 \cdot 3)} = \log{2} + \log{3} = 0.3010 + 0.4774 = 0.7784
- b) \log{144} = \log{(2^4 \cdot 3^2)} = \log{2^4} + \log{3^2} =
=4 \log{2} + 2 \log{3} = 4 \cdot 0.3010 + 2 \cdot 0.4774 = 1.204+0.9548=2.1588
- c)
\log{\frac{8}{81}} = \log{8} - \log{81} = \log{2^3} - \log{3^4}=
= 3 \log{2} - 4 \log{3} = 3 \cdot 0.3010 - 4 \cdot 0.4774 = -1.0066 e)Resuelve la ecuación 3^{2x+1} = 81

f)Resuelve la ecuación 2^{x+1} \cdot 2^x = 64

g)Resuelve la ecuación 2^{x+1}+2^x = 15

h)Resuelve la ecuación 3^{2x}- 5 \cdot 3^x = -6

SOLUCION: 3^{2x} - 5 \cdot 3^x = -6


- Realizamos el cambio de variable 3^x=t

- Entonces 3^{2x} = t^2

- Sustituimos en la ecuación original t^2 - 5t = -6


- Resolvemos la ecuación de segundo grado (con la incógnita t) y obtenemos como soluciones t=2 y t=3

- Deshacemos el cambio de variable: 3^x = 3 y 3^x = 2 y resolvemos las dos ecuaciones resultantes:
- 3^x = 3 \Longrightarrow \fbox{x=1}


- 3^x = 2
(como 2 no se puede expresar como potencia de 3, se resuelve tomando logaritmos)


i)Resuelve la ecuación \log x + \log 5 = 2

SOLUCION: \log{x} + \log{5} = 2
\log{x} + \log{5} = \log{100}
\log({x \cdot 5})  = \log{100}
x \cdot 5  = 100
x  = \frac{100}{5}
\fbox{x  = 20}

j)Resuelve la ecuación 2^x  = 123












No user avatar
hernanquiroz
Latest page update: made by hernanquiroz , Sep 18 2007, 6:54 AM EDT (about this update About This Update hernanquiroz Edited by hernanquiroz

6 words added

view changes

- complete history)
Keyword tags: None
More Info: links to this page
There are no threads for this page.  Be the first to start a new thread.